Teoría de la Relatividad
1. Teoría de la relatividad.
Las experiencias y observaciones cotidianas tienen que ver con cuerpos que se mueven con magnitudes de velocidades mucho menores que la rapidez de la luz. La mecánica de Newton fue formulada al observar y describir el movimiento de esos cuerpos, y este formulismo es lo suficientemente satisfactorio para describir una amplia variedad de fenómenos que se presentan. Con todo, no describe en forma apropiada el movimiento de cuerpos cuyas magnitudes de velocidades se aproximan a la de la luz. En términos experimentales, las predicciones de la teoría de Newton se pueden probar con magnitudes de velocidad altas al acelerar electrones u otras partículas cargadas a través de una gran diferencia de potencial eléctrico. Por ejemplo, es posible acelerar un electrón con una rapidez de 0.99c (donde c es la rapidez de la luz) si se usa una diferencia de potencial de varios millones de volts. Según la mecánica de Newton, si la diferencia de potencial se aumenta en un factor de 4, la energía cinética del electrón deberá ser cuatro veces mayor y su rapidez se duplicará a 1.98c. No obstante, algunos experimentos demuestran que la rapidez del electrón —así como la rapidez de cualquier otro cuerpo en el Universo— siempre es menor que la rapidez de la luz, cualquiera que sea la magnitud del voltaje acelerador. Ya que no pone un límite superior a la rapidez, la mecánica de Newton no concuerda con resultados experimentales modernos y es claramente una teoría limitada.
Aun cuando Einstein hizo muchas otras aportaciones a la ciencia, la teoría especial de la relatividad por sí sola representa uno de los más grandes logros intelectuales de todos los tiempos. Con esta teoría pueden pronosticarse correctamente observaciones experimentales sobre los intervalos de rapidez desde v 0 hasta magnitudes de velocidades que se aproximan a la de la luz. Con magnitudes de velocidades bajas, la teoría de Einstein se reduce a la mecánica de Newton como una situación limitante. Es importante reconocer que Einstein estaba trabajando con el electromagnetismo cuando desarrolló la teoría especial de la relatividad. Estaba convencido de que las ecuaciones de Maxwell eran correctas, y para conciliarlas con uno de sus propios postulados, Einstein se vio forzado a pasar a la noción revolucionaria de suponer que el espacio y el tiempo no eran absolutos. Este capítulo presenta una introducción a la teoría especial de la relatividad, con énfasis en algunas de sus pronósticos. Además de su bien conocido y esencial papel en la física teórica, la teoría especial de la relatividad tiene aplicaciones prácticas, entre las que se incluye el diseño de plantas de energía nuclear y aparatos modernos del sistema de posicionamiento global moderno (GPS, global positioning system). Estos dispositivos no funcionan si se diseñan de acuerdo con principios no relativistas.
1.1. Principio galileano de la relatividad:
Para describir un evento físico, debe establecer un marco de referencia. El estudiante debe recordar del capítulo 5, que un marco inercial de referencia es aquel en el que se observa que un objeto no tiene aceleración cuando no actúan fuerzas sobre él. Además, cualquier sistema que se mueva con velocidad constante respecto a un marco inercial también debe estar en un marco inercial. No hay marco inercial absoluto de referencia. En consecuencia, los resultados de un experimento realizado en un vehículo que se mueve con velocidad uniforme serán idénticos a los resultados del mismo experimento realizado en un vehículo inmóvil. El enunciado formal de este resultado se denomina principio galileano de la relatividad:
"Las leyes de la mecánica deben ser las mismas en todos los marcos inerciales de referencia"
Considere una observación que ilustra la equivalencia de las leyes de la mecánica en diferentes marcos inerciales. Una camioneta de reparto se mueve con velocidad constante, como se muestra en la figura 1.1(a):
Si un pasajero en ella lanza una pelota directamente hacia arriba, y si se desprecian los efectos del aire, el pasajero observará que la pelota se mueve en una trayectoria vertical. El movimiento de la pelota parece ser exactamente igual que si la pelota fuera lanzada por una persona en reposo en el suelo. La ley de la gravitación universal y las ecuaciones de movimiento bajo aceleración constante se cumplen ya sea que la camioneta se encuentre en reposo o en movimiento uniforme. Ambos observadores coinciden con las leyes de física: cada uno de ellos lanza una pelota directamente hacia arriba y ésta sube y cae en sus manos. ¿Pero, qué hay de la trayectoria de la pelota lanzada por el observador a bordo de la camioneta? El observador que está en el suelo ve la trayectoria de la pelota como una parábola, como se ve en la figura 1.1(b), mientras que, como se mencionó, el observador de la camioneta ve que la pelota se mueve en trayectoria vertical. Además, de acuerdo con el observador que está en el suelo, la pelota tiene una componente horizontal de velocidad igual a la de la camioneta. Aun cuando los dos observadores no están de acuerdo con ciertos aspectos, coinciden en la validez de las leyes de Newton y en principios clásicos como la conservación de la energía o la conservación de la cantidad de movimiento lineal. Este acuerdo implica que no hay experimento mecánico que pueda detectar diferencia alguna entre los dos marcos inerciales. Lo único que se puede detectar es el movimiento relativo de un marco respecto al otro.
Suponga que se presenta algún fenómeno físico, que llamará evento, el cual es observado por alguien en reposo en un marco inercial de referencia. Al decir que un observador está “en un marco”, significa que está en reposo respecto al origen de ese marco. La ubicación y tiempo del evento pueden ser especificados por las cuatro coordenadas (x, y, z, t). Lo deseable es poder transformar las coordenadas de un observador en un marco inercial a las de otro en un marco que se mueve con velocidad relativa uniforme en comparación con el primer marco. Considere dos marcos inerciales S y S' de la figura 1.2:
El marco S' se mueve con una velocidad constante v a lo largo de los ejes comunes x y x', donde v se mide respecto a S. Suponga que los orígenes de S y S' coinciden en t = 0 y que se presenta un evento en el punto P en el espacio en algún instante. Un observador en S describe el evento con coordenadas espacio–tiempo (x, y, z, t), mientras que un observador en S' usa las coordenadas primas (x', y', z', t') para describir el mismo evento. Como muestra la geometría de la figura 1.2, las correspondencias entre estas coordenadas se escriben como:
x' = x - vt y' = y z' = z t' = t (1.1)
Éstas son las ecuaciones de transformación galileanas del espacio–tiempo. Observe que el tiempo se supone igual en ambos marcos inerciales, es decir, dentro de la estructura de la mecánica clásica, todos los relojes funcionan al mismo ritmo, cualquiera que sea su velocidad, de modo que el tiempo en el que se presenta un evento para un observador en S es el mismo tiempo para el mismo evento en S'. En consecuencia, el intervalo entre dos eventos sucesivos debe ser el mismo para ambos observadores. Aun cuando esta suposición puede parecer evidente, resulta incorrecta en situaciones donde v es comparable a la rapidez de la luz. Ahora suponga que una partícula se mueve en un desplazamiento de magnitud dx a lo largo del eje x en un intervalo dt medido por un observador en S. Se deduce, de las ecuaciones 1.1, que el correspondiente desplazamiento dx' medido por un observador en S' es dx' = dx - vdt, donde el marco S' se mueve con una rapidez v en la dirección x respecto al marco S. Debido a que dt = dt',
O bien
(1.2)
donde ux y u'x son las componentes x de la velocidad de la partícula medida por los observadores en S y S', respectivamente. (Se usa el símbolo u para la velocidad de partícula en lugar de v , que se usa para la velocidad relativa de dos marcos de referencia.) La ecuación 1.2 es la ecuación de transformación galileana de la velocidad, la cual es consistente con la noción intuitiva de tiempo y espacio.
La rapidez de luz:
Es natural preguntar si el principio galileano de la relatividad también se aplica a la electricidad, el magnetismo y la óptica. Experimentos realizados indican que la respuesta es negativa. Recuerde que Maxwell demostró que la rapidez de la luz en el espacio libre es c = 3.00 108 m/s. Los físicos de fines del siglo XIX pensaban que las ondas de luz se movían en un medio llamado éter y que la rapidez de la luz era c sólo en un marco absoluto, especial y en reposo respecto al éter. Se esperaba que se cumpliera la ecuación de transformación galileana de velocidad para observaciones de luz hechas en cualquier marco que se moviera a una rapidez v respecto al marco absoluto de éter. Es decir, si la luz se desplaza a lo largo del eje x y un observador se mueve con velocidad v a lo largo del mismo eje, medirá que la luz tiene una rapidez c , dependiendo de las direcciones de movimiento del observador y de la luz. Ya que la existencia de un marco preferente absoluto del éter mostraría la semejanza de la luz en relación con otras ondas clásicas y que las ideas de Newton de un marco absoluto eran verdaderas, se consideró importante establecer la existencia del marco de éter. Antes de fines del siglo XIX, en experimentos de desplazamiento de la luz, en los medios que permitían las más altas magnitudes de velocidades de laboratorio realizables en aquel tiempo, no fue posible detectar diferencias de magnitud entre c y c v. A inicios de 1880, algunos científicos decidieron usar la Tierra como el marco en movimiento en un intento de mejorar sus oportunidades de detectar estos pequeños cambios en la rapidez de la luz. Los observadores fijos en la Tierra, pueden considerar la perspectiva de que están inmóviles y que el marco absoluto del éter que contiene el medio para propagación de la luz se mueve más allá de los observadores a una rapidez v. Determinar la rapidez de la luz bajo estas circunstancias es similar a determinar la rapidez de un avión que vuela en una corriente de aire en movimiento o viento; en consecuencia, se trata de un “viento de éter” que sopla a través del aparato fijo a la Tierra. Un método directo para detectar un viento de éter usaría un aparato fijo a la Tierra para medir la influencia del viento de éter sobre la rapidez de la luz. Si v es la rapidez de éter respecto a la Tierra, la luz debe tener su máxima rapidez c v cuando se propague en la dirección del viento, como se ve en la figura 39.3a. Del mismo modo, la rapidez de la luz debe tener su valor mínimo c v cuando la luz se propague contra el viento, como en la figura 39.3b, y un valor intermedio (c2 v2 )1/2 en la dirección perpendicular al viento de éter, como se ve en la figura 39.3c. Si se supone que el Sol está en reposo en el éter, la velocidad del viento de éter será igual a la velocidad orbital de la Tierra alrededor del Sol, que tiene una magnitud de aproximadamente 30 km/s o 3 104 m/s. Como c 3 108 m/s, es necesario detectar un cambio en la rapidez de alrededor una parte en 104 para mediciones en las direcciones contra el viento y a favor del viento. No obstante, mientras que este cambio es mensurable experimentalmente, todos los intentos por detectar estos cambios y establecer la existencia del viento de éter (y por esto el marco absoluto) ¡resultaron inútiles! En la sección 39.2 se explica la investigación clásica experimental. El principio galileano de la relatividad se refiere sólo a las leyes de la mecánica. Si se supone que las leyes de la electricidad y el magnetismo son las mismas en todos los marcos inerciales, surge una paradoja acerca de la rapidez de la luz. Es posible entender esto al reconocer que las ecuaciones de Maxwell parecen implicar que la rapidez de la luz siempre tiene el valor fijo de 3 x 108 m/s en todos los marcos inerciales, un resultado que está en contradicción directa a lo que se espera en términos de la ecuación de transformación galileana de la velocidad. Según la relatividad galileana, la rapidez de la luz no debe ser la misma en todos los marcos inerciales. Para resolver esta contradicción de las teorías, debe concluir que:
1) las leyes de la electricidad y el magnetismo no son las mismas en todos los marcos inerciales, ó
2) La ecuación de transformación galileana de la velocidad es incorrecta. Si supone lo primero, debe existir un marco de referencia preferencial en el que la rapidez de la luz tenga el valor c y la rapidez medida sea mayor o menor que este valor en cualquier marco de referencia, según la ecuación de transformación galileana de la velocidad. Si supone lo segundo, está forzado a abandonar las nociones de tiempo absoluto y longitud absoluta que forman la base de las ecuaciones de transformación galileanas del espacio–tiempo.
